逻辑学判定三段论有效性

1.引入三段论的背景

2.什么是三段论

3.五规则法判定三段论有效性

4.文恩图法判定三段论有效性

5.课堂练习

2020-3-161

2020-3-162

针对以原子命题（符号）为最小组成单位

的论证形式，我们学习了真值表方法、归

谬赋值法和命题自然演绎法，这些方法都

是值得信赖的。然而，这些方法却不是

“全能的”。针对另外一些论证，用这些

方法，我们无法判定其有效性。请看：

2020-3-163

所有中国人都希望中国强大

所有华中大学生是中国人

所以，所有华中大学生希望中国强大

不难看出，这个论证是有效的。若前提为

真，则结论必真。但是，若用前面的翻译

方法，该论证只能翻译为：

2020-3-164

•根据真值表或归谬赋值法，不难判定该论

证形式是无效的。此时，我们需找出该论

证更精细的结构。前面学习的关于性质命

题的知识，给我们提供了这样的资源。逻

辑学家将上述论证翻译为：

2020-3-165

所有M是P

所有S是M

所以，所有S是P

•具有类似这种形式的论证被称作三段论。

我们将学习如何判定三段论的有效性。有

了这些知识之后，我们会知道，上面论证

形式是有效的。具有这种形式的所有论证

都是有效的。

2020-3-166

（1）所有中国人都希

望中国强大

（2）所有华中大学生

是中国人

所以，（3）所有华中

大学生希望中国强大

•三段论论证是以包含一个

共同项的两个性质命题为

前提，以一个新的性质命

题为结论的论证。三段论

论证简称为三段论。任何

一个三段论都由三个性质

命题组成，其中两个是前

提，一个是结论。任何一

个三段论都有而且仅有三

个词项，每个词项在三个

命题中重复出现一次。

2020-3-167

（1）所有中国人都希

望中国强大

（2）所有华中大学生

是中国人

所以，（3）所有华中

大学生希望中国强大

•在结论中做主项的词项叫【

小项】，通常用S表示。在

结论中做谓项的词项叫【大

项】，通常用P表示。只在

两个前提中出现的共同项叫

【中项】，通常用M表示。

中项在前提中起桥接作用，

把小项和大项桥接起来。三

段论中，包含中项和大项的

命题叫大前提。包含小项和

中项的命题叫小前提。包含

小项和大项的命题叫结论。

2020-3-168

•我们将学习如何判断三段论（论证形式）

的有效性。主要有两种方法：五规则法和

文恩图法。五规则法牵涉步骤较多，相比

较而言，文恩图法相对更快捷，也更具操

作性（当然，值得一提的是，许多时候，

用五规则法判断一个三段论（论证形式）

无效却是非常迅速的）。我们将先介绍五

规则法，然后集中介绍文恩图法。

2020-3-169

一个三段论是有效的，当且仅当，它遵守

下面五条规则（该结果证明书上没有）：

规则一：中项在前提中至少周延一次

规则二：前提中不周延的项在结论中也不

得周延。

规则三：两个否定前提推不出结论。

规则四：两个前提中有一个是否定的，则

结论是否定的。

规则五：如果结论是否定的，则必有一个

前提是否定的。

2020-3-1610

规则一：中项在前提中至

少周延一次√

规则二：前提中不周延的

项在结论中也不得周延√

规则三：两个否定前提推

不出结论√

规则四：两个前提中有一

个是否定的，则结论是否

定的√

规则五：如果结论是否定

的，则必有一个前提是否

定的√

（1）所有中国人都希望

中国强大

（2）所有华中大学生

是中国人

所以，（3）所有华中

大学生希望中国强大

2020-3-1611

规则一：中项在前提中至

少周延一次√

规则二：前提中不周延的

项在结论中也不得周延X

规则三：两个否定前提推

不出结论√

规则四：两个前提中有一

个是否定的，则结论是否

定的√

规则五：如果结论是否定

的，则必有一个前提是否

定的√

（1）所有中国人都希望

中国强大

（2）有的哈佛大学学

生不是中国人

所以，（3）有的哈佛

大学学生不希望中国

强大

2020-3-1612

规则一：中项在前提中至

少周延一次√

规则二：前提中不周延的

项在结论中也不得周延√

规则三：两个否定前提推

不出结论√

规则四：两个前提中有一

个是否定的，则结论是否

定的√

规则五：如果结论是否定

的，则必有一个前提是否

定的√

（1）所有中国人都希望

中国强大

（2）有的中国人是软

弱的

所以，（3）有的希望

中国强大的（人）是

软弱的

2020-3-1613

•上述五个规则，对于判定三段论的有效性

来说，既是必要的，又是充分的。也就是

说，遵守了这五条规则，三段论就是有效

的。若违反了其中任何一条规则，三段论

就不是有效的。这样，我们获得了第一种

判定三段论论证形式有效与否的方法：逐

个规则检查，看看是否一个三段论形式都

遵守，若遵守，则有效，若不遵守，则无

效。

2020-3-1614

通过上面五个规则，可得出下面两个导出规则：

规则六：从两个特称的前提不能得出结论

规则七：如果有一个前提是特称的，则只能得出

特称的结论。

注：因为上面五个规则对于判定三段论有效性而

言是充分必要条件，这两个导出规则并无实质作

用。实际上，两条导出的规则更多用来快速方便

地地判断一个三段论论证形式的无效，值得说明

的是，不用两个导出规则同样可判定。基于此，

我们不着重分析这两个导出规则。

2020-3-1615

•文恩图法是判断三段论（论证形式）有效与否更

加快捷和直观的方法。这种方法基于前面我们对

性质命题的“意义”（即为真条件）的理解，背

后的想法是，若前提的“意义”包含结论的“意

义”，那么，是有效的，否则是无效的。主要思

路是：准确地画出两个前提的文恩图，然后，观

察图形，看看“结论的意义”（为真条件）是否

已经出现在图形中。（here）

2020-3-1616

•主要步骤如下：（1）先把三段论的前提和

结论表示为集合演算的公式（2）然后根据

前提对应的公式画出文恩图（3）观察图形

看看是否结论对应公式的文恩图已经出现

在图形中，若是，则有效，若不是，则无

效。简言之，三个步骤：解释（为真条件

）、画图、判定。

2020-3-1617

•

•

•

•

2020-3-1618

文恩图法判断三段论有效性实例

例1：

所有M是P

所有S是M

所以，所有S是P

2020-3-1619

例1：

所有M是P

所有S是M

所以，所有S是P

第一步：解释（为真条件）

2020-3-1620

例1：

所有M是P

所有S是M

所以，所有S是P

第一步：解释（为真条件）

M∩P¯=0

S∩M¯=0

S∩P¯=0

2020-3-16 21

例1：

所有M是P

所有S是M

所以，所有S是P

第二步：画图

第一步：解释（为真条件）

M∩P¯=0

S∩M¯=0

S∩P¯=0

2020-3-16 22

例1：

所有M是P

所有S是M

所以，所有S是P

第二步：画图

M P

S

第一步：解释（为真条件）

M∩P¯=0

S∩M¯=0

S∩P¯=0

2020-3-16 23

例1：

所有M是P

所有S是M

所以，所有S是P

第二步：画图

M P

S

第一步：解释（为真条件）

M∩P¯=0

S∩M¯=0

S∩P¯=0

2020-3-16 24

例1：

所有M是P

所有S是M

所以，所有S是P

第二步：画图

M P

S

第一步：解释（为真条件）

M∩P¯=0

S∩M¯=0

S∩P¯=0

2020-3-16 25

例1：

所有M是P

所有S是M

所以，所有S是P

第二步：画图

M P

S

第一步：解释（为真条件）

M∩P¯=0

S∩M¯=0

S∩P¯=0

第三步：观察判定

2020-3-16 26

例1：

所有M是P

所有S是M

所以，所有S是P

第二步：画图

M P

S

第一步：解释（为真条件）

M∩P¯=0

S∩M¯=0

S∩P¯=0

第三步：观察判定

S和P¯相交的部分为横

线，即为空。S∩P¯=0

成立。因此，该三段论

形式有效。

2020-3-16 27

例2：

所有M不是P

所有S是M

所以，所有S不是P

2020-3-16 28

例2：

所有M不是P

所有S是M

所以，所有S不是P

第一步：解释（为真条件）

2020-3-16 29

例2：

所有M不是P

所有S是M

所以，所有S不是P

第一步：解释（为真条件）

M∩P = 0

S∩M¯=0

S∩P =0

2020-3-16 30

例2：

所有M不是P

所有S是M

所以，所有S不是P

第二步：画图

第一步：解释（为真条件）

M∩P = 0

S∩M¯=0

S∩P =0

2020-3-16 31

例2：

所有M不是P

所有S是M

所以，所有S不是P

第二步：画图

M P

S

第一步：解释（为真条件）

M∩P = 0

S∩M¯=0

S∩P =0

2020-3-16 32

例2：

所有M不是P

所有S是M

所以，所有S不是P

第二步：画图

M P

S

第一步：解释（为真条件）

M∩P = 0

S∩M¯=0

S∩P =0

2020-3-16 33

例2：

所有M不是P

所有S是M

所以，所有S不是P

第二步：画图

M P

S

第一步：解释（为真条件）

M∩P = 0

S∩M¯=0

S∩P =0

2020-3-16 34

例2：

所有M不是P

所有S是M

所以，所有S不是P

第二步：画图

M P

S

第一步：解释（为真条件）

M∩P = 0

S∩M¯=0

S∩P =0

第三步：观察判定

2020-3-16 35

例2：

所有M不是P

所有S是M

所以，所有S不是P

第二步：画图

M P

S

第一步：解释（为真条件）

M∩P = 0

S∩M¯=0

S∩P =0

第三步：观察判定

S和P相交的部分为横

线，即为空。S∩P=0

成立。因此，该三段论

形式有效。

2020-3-16 36

例3：

所有M是P

所有M是S

所以，所有S是P

2020-3-16 37

例3：

所有M是P

所有M是S

所以，所有S是P

第一步：解释（为真条件）

2020-3-16 38

例3：

所有M是P

所有M是S

所以，所有S是P

第一步：解释（为真条件）

M∩P¯ = 0

M∩S¯=0

S∩P¯ =0

2020-3-16 39

例3：

所有M是P

所有M是S

所以，所有S是P

第二步：画图

第一步：解释（为真条件）

M∩P¯ = 0

M∩S¯=0

S∩P¯ =0

2020-3-16 40

例3：

所有M是P

所有M是S

所以，所有S是P

第二步：画图

M P

S

第一步：解释（为真条件）

M∩P¯ = 0

M∩S¯=0

S∩P¯ =0

2020-3-16 41

例3：

所有M是P

所有M是S

所以，所有S是P

第二步：画图

M P

S

第一步：解释（为真条件）

M∩P¯ = 0

M∩S¯=0

S∩P¯ =0

2020-3-16 42

例3：

所有M是P

所有M是S

所以，所有S是P

第二步：画图

M P

S

第一步：解释（为真条件）

M∩P¯ = 0

M∩S¯=0

S∩P¯ =0

2020-3-16 43

例3：

所有M是P

所有M是S

所以，所有S是P

第二步：画图

M P

S

第一步：解释（为真条件）

M∩P¯ = 0

M∩S¯=0

S∩P¯ =0

第三步：观察判定

2020-3-16 44

例3：

所有M是P

所有M是S

所以，所有S是P

第二步：画图

M P

S

第一步：解释（为真条件）

M∩P¯ = 0

M∩S¯=0

S∩P¯ =0

第三步：观察判定

S和P¯相交的部分并非都

是为横线，也就是说，未

必为空。就是说，S∩P¯

=0未必成立。该三段论形

式无效。

2020-3-16 45

例4：

所有M是P

所有M是S

所以，有的S是P

2020-3-16 46

例4：

所有M是P

所有M是S

所以，有的S是P

第一步：解释（为真条件）

2020-3-16 47

例4：

所有M是P

所有M是S

所以，有的S是P

第一步：解释（为真条件）

M∩P¯ = 0

M∩S¯=0

S∩P ≠ 0

2020-3-16 48

例4：

所有M是P

所有M是S

所以，有的S是P

第二步：画图

第一步：解释（为真条件）

M∩P¯ = 0

M∩S¯=0

S∩P ≠ 0

2020-3-16 49

例4：

所有M是P

所有M是S

所以，有的S是P

第二步：画图

M P

S

第一步：解释（为真条件）

M∩P¯ = 0

M∩S¯=0

S∩P ≠ 0

2020-3-16 50

例4：

所有M是P

所有M是S

所以，有的S是P

第二步：画图

M P

S

第一步：解释（为真条件）

M∩P¯ = 0

M∩S¯=0

S∩P ≠ 0

2020-3-16 51

例4：

所有M是P

所有M是S

所以，有的S是P

第二步：画图

M P

S

第一步：解释（为真条件）

M∩P¯ = 0

M∩S¯=0

S∩P ≠ 0

2020-3-16 52

例4：

所有M是P

所有M是S

所以，有的S是P

第二步：画图

M P

S

第一步：解释（为真条件）

M∩P¯ = 0

M∩S¯=0

S∩P ≠ 0

第三步：观察判定

2020-3-16 53

例4：

所有M是P

所有M是S

所以，有的S是P

第二步：画图

M P

S

第一步：解释（为真条件）

M∩P¯ = 0

M∩S¯=0

S∩P ≠ 0

第三步：观察判定

S和P相交的部分并未出现

+，即未必非空。就是说

，S∩P ≠ 0未必成立。该

三段论形式无效。

2020-3-16 54

例5：

所有M是P

有的S是M

所以，有的S是P

2020-3-16 55

例5：

所有M是P

有的S是M

所以，有的S是P

第一步：解释（为真条件）

2020-3-16 56

例5：

所有M是P

有的S是M

所以，有的S是P

第一步：解释（为真条件）

M∩P¯ = 0

S∩M ≠ 0

S∩P ≠ 0

2020-3-16 57

例5：

所有M是P

有的S是M

所以，有的S是P

第二步：画图

第一步：解释（为真条件）

M∩P¯ = 0

S∩M ≠ 0

S∩P ≠ 0

2020-3-16 58

例5：

所有M是P

有的S是M

所以，有的S是P

第二步：画图

M P

•

S

第一步：解释（为真条件）

M∩P¯ = 0

S∩M ≠ 0

S∩P ≠ 0

2020-3-16 59

例5：

所有M是P

有的S是M

所以，有的S是P

第二步：画图

M P

•

S

第一步：解释（为真条件）

M∩P¯ = 0

S∩M ≠ 0

S∩P ≠ 0

2020-3-16 60

例5：

所有M是P

有的S是M

所以，有的S是P

第二步：画图

M P

• +

S

第一步：解释（为真条件）

M∩P¯ = 0

S∩M ≠ 0

S∩P ≠ 0

2020-3-16 61

例5：

所有M是P

有的S是M

所以，有的S是P

第二步：画图

M P

• +

S

第一步：解释（为真条件）

M∩P¯ = 0

S∩M ≠ 0

S∩P ≠ 0

第三步：观察判定

2020-3-16 62

例5：

所有M是P

有的S是M

所以，有的S是P

第二步：画图

M P

• +

S

第一步：解释（为真条件）

M∩P¯ = 0

S∩M ≠ 0

S∩P ≠ 0

第三步：观察判定

S和P相交的部分出现+，

即非空。就是说，S∩P ≠

0成立。该三段论形式有效

。

2020-3-16 63

例6：

所有M不是P

有的S是M

所以，有的S不是P

2020-3-16 64

例6：

所有M不是P

有的S是M

所以，有的S不是P

第一步：解释（为真条件）

2020-3-16 65

例6：

所有M不是P

有的S是M

所以，有的S不是P

第一步：解释（为真条件）

M∩P = 0

S∩M ≠ 0

S∩P ¯ ≠ 0

2020-3-16 66

例6：

所有M不是P

有的S是M

所以，有的S不是P

第二步：画图

第一步：解释（为真条件）

M∩P = 0

S∩M ≠ 0

S∩P ¯ ≠ 0

2020-3-16 67

例6：

所有M不是P

有的S是M

所以，有的S不是P

第二步：画图

M P

•

S

第一步：解释（为真条件）

M∩P = 0

S∩M ≠ 0

S∩P ¯ ≠ 0

2020-3-16 68

例6：

所有M不是P

有的S是M

所以，有的S不是P

第二步：画图

M P

•

S

第一步：解释（为真条件）

M∩P = 0

S∩M ≠ 0

S∩P ¯ ≠ 0

2020-3-16 69

例6：

所有M不是P

有的S是M

所以，有的S不是P

第二步：画图

M P

• +

S

第一步：解释（为真条件）

M∩P = 0

S∩M ≠ 0

S∩P ¯ ≠ 0

2020-3-16 70

例6：

所有M不是P

有的S是M

所以，有的S不是P

第二步：画图

M P

• +

S

第一步：解释（为真条件）

M∩P = 0

S∩M ≠ 0

S∩P ¯ ≠ 0

第三步：观察判定

2020-3-16 71

例6：

所有M不是P

有的S是M

所以，有的S不是P

第二步：画图

M P

• +

S

第一步：解释（为真条件）

M∩P = 0

S∩M ≠ 0

S∩P ¯ ≠ 0

第三步：观察判定

S和P ¯相交的部分出现+，

即非空。就是说，S∩P ¯

≠ 0成立。该三段论形式

有效。

2020-3-16 72

5. 课堂练习：先写出下面三段论的论证形式，再分

别用五规则法和文恩图法判断其论证形式是否有效

（1）所有人都是哺乳动

物

（2）有的生物不是哺乳

动物

所以，（3）有的生物不

是人

中项：哺乳动物

大项：人

小项目：生物

（1）所有人都是哺乳动

物

（2）有的生物不是哺乳

动物

所以，（3）有的人不是

生物

中项：哺乳动物

大项：生物

小项：人

2020-3-16 73